Diviser par zéro avec Ivano Ghirardini . How to divide by zéro with Ivano Ghirardini

 

Théorie des zéros de Ghirardini et nombres zerfinis — version Blogspot (MathJax)

Résumé

Présentation complète et technique, prête à coller dans un billet Blogspot activé MathJax : définitions formelles du zéro dual

$0_E$

, construction canonique en ZFC (codage, algorithme de décodage

$A$

, règle de minimalité pour

$D_x$

), définition ordinale de la profondeur mémorielle

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$

, preuves détaillées par induction transfinie, arithmétique des zerfinis

${\zeta }_E=(\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid },\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E))$

, exemples codés pour

${\zeta }_{\mathbb{N}},{\zeta }_{\mathbb{Z}},{\zeta }_{\mathbb{R}}$

, annexes techniques et discussion des variantes.

Introduction

La théorie classique considère la division par zéro comme indéfinie. La construction ghirardinienne remplace le scalaire zéro par un opérateur indexé

$0_E$

(le zéro dual) qui combine une composante opératoire (annihilation) et une composante mémorielle (restitution d’information). L’objectif est de formaliser ces objets dans ZFC, de définir une profondeur ordinale mesurant la mémoire interne du zéro, et d’établir une correspondance exacte entre la hiérarchie des infinis (Cantor) et une hiérarchie symétrique de zerfinis.

Axiomes et définitions de base

• A1 (Localité) —
  $x{0}_E$
  est défini si et seulement si
  $x\in E$
  .

• A2 (Absorbance opératoire) — il existe
  ${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E:\mathcal{P}(E)\to \mathcal{P}(E)$
  représentant l’effet annihilant.

• A3 (Restitution mémorielle) —
  $x{0}_E={\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$
  où
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E:E\to \mathcal{P}(E)$
  .

• A4 (Injectivité locale) —
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)={\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(y)\Rightarrow x=y$
  .

• A5 (Idempotence) —
  $0_E(0_E(X))=0_E(X)$
  pour tout
  $X\subseteq E$
  .

• A6 (Hiérarchie des zéros) —
  $E\subseteq F\Rightarrow 0_E⪯0_F$
  .

• A7 (Monotonie stricte) —
  $E⊊F\Rightarrow \mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)<\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)$
  .

Définition. Pour tout ensemble

$E$

on pose

$$0_E:=({\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E,{\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E),$$

avec

${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E$

opératoire et

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

mémorielle.

Construction canonique en ZFC : codage et algorithme 

$A$

Codage canonique

Fixer une injection de Gödel

$g$

et, pour chaque ensemble

$E$

, une injection explicite

$$c_E:E\hookrightarrow \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\subseteq \mathbb{N}\mathrm{.}$$

Les codes servent à ordonner finiment les sous‑ensembles et à définir la minimalité lexicographique.

Algorithme de décodage 

$A$

— spécification

$A$

est une relation récursive (définissable en ZFC) qui, pour tout ensemble fini de codes

$S$

, renvoie l’élément

$x$

reconstruit si et seulement si

$S$

contient les atomes d’information nécessaires selon une grammaire de construction fixée (paires, unions, fonctions, etc.). On note

$A(S)=x$

.

Règle de minimalité pour 

$D_x$

Pour chaque

$x\in E$

définir

$${\mathcal{D}}_x=\{D\subseteq E\mid D\text{ fini et }A(\{c_E(y):y\in D\})=x\},$$

puis

$$D_x:=\underset{\text{lex}}{\min }{\mathcal{D}}_x,{\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x):=D_x\mathrm{.}$$

La règle de minimalité garantit unicité de l’empreinte et, combinée à l’injectivité de

$c_E$

, assure l’axiome A4.

Définition ordinale de la profondeur 

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$

Définir la relation de dépendance

$$y{\prec }_{E}x⟺y\in {\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)\mathrm{.}$$

Sous l’hypothèse que

$(E,{\prec }_E)$

est bien fondé, on définit par induction transfinie le rang

$${\rho }_E(x):=\sup \{{\rho }_E(y)+1:y\in {\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)\},$$

puis la profondeur

$$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E):=\sup \{{\rho }_E(x):x\in E\}\mathrm{.}$$

Chaque

${\rho }_E(x)$

est un ordinal et

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$

est un ordinal bien défini.

Preuves formelles — lemmes, propositions et théorèmes

Lemme 1 (existence et unicité des rangs)

Énoncé. Sous (C1)–(C3) (finitude des empreintes, injectivité, bien‑fondation), la fonction

${\rho }_E$

existe et est unique.

Preuve. La relation

${\prec }_E$

est bien fondée ; on définit

${\rho }_E$

par récurrence sur cet ordre. Pour chaque

$x$

l’ensemble

$\{{\rho }_E(y)+1:y\in {\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)\}$

est constitué d’ordinaux déjà définis, donc sa borne supérieure existe et définit

${\rho }_E(x)$

. L’unicité découle de l’unicité de la définition par récurrence sur un ordre bien fondé. □

Lemme 2 (idempotence opératoire)

Énoncé. Pour tout

$X\subseteq E$

,

${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E({\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E(X))={\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E(X)$

.

Preuve. Par construction

${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E$

est l’application constante

$\mathrm{\varnothing }$

, d’où l’égalité. □

Proposition (injectivité locale)

Énoncé. Si

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

est injective alors

$x{0}_E=y{0}_E\Rightarrow x=y$

.

Preuve. Direct par définition

$x{0}_E={\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$

. □

Théorème (croissance stricte de la profondeur)

Énoncé. Si

$E⊊F$

et si

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_F$

étend

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

en ajoutant un élément de rang strictement supérieur, alors

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)<\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)$

.

Preuve. Par définition

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)={\sup }_{x\in E}{\rho }_E(x)$

et

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)={\sup }_{y\in F}{\rho }_F(y)$

. L’existence d’un

$z\in F\setminus E$

avec

${\rho }_F(z)>{\sup }_{x\in E}{\rho }_E(x)$

donne l’inégalité stricte. La construction inductive permet d’obtenir un tel

$z$

. □

Théorème (points fixes transfinis — esquisse)

Énoncé. Pour la tour

$E_{n+1}=E_n^{E_n}$

et la limite

$E_{\mathrm{\pounds }o}={\bigcup }_{n<\omega }{E}_n$

correspondant à un ordinal point fixe

$\mathrm{\pounds }o$

, le zerfini

${\zeta }_{E_{\mathrm{\pounds }o}}$

est absorbant et stable par exponentiation itérée.

Preuve (esquisse). Par induction transfinie sur la tour, les profondeurs croissent et la limite

$E_{\mathrm{\pounds }o}$

est construite comme union ; si

$\mathrm{\pounds }o$

est point fixe ordinal pour l’exponentiation, la structure de dépendances devient stable, d’où l’idempotence au niveau zerfini. Une formalisation complète suit la même induction. □

Arithmétique des zerfinis

Définition. Pour tout

$E$

poser

$${\zeta }_E:=(\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid },\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E))\mathrm{.}$$

Opérations.

• Addition :
  ${\zeta }_E\oplus {\zeta }_F:={\zeta }_{E\cup F}$
  .

• Produit :
  ${\zeta }_E\otimes {\zeta }_F:={\zeta }_{E\times F}$
  .

• Exponentiation :
  ${\zeta }_E^{{\zeta }_F}:={\zeta }_{E^F}$
  .

Propriétés. Absorption (le plus « grand » domine), idempotence (

${\zeta }_E\oplus {\zeta }_E={\zeta }_E$

), sauts hiérarchiques à l’exponentiation analogues aux sauts cardinaux.

Bijection structurelle 

$(\kappa ,\alpha )\leftrightarrow \zeta$

Énoncé. La classe

$\mathcal{C}=\{(\kappa ,\alpha )\}$

(cardinal, ordinal) est en bijection naturelle avec la classe des zerfinis modulo l’équivalence

$\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid }=\kappa ,\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)=\alpha$

.

Preuve.

• Surjectivité : toute classe de zerfini est déterminée par
  $(\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid },\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E))$
  .

• Injectivité : deux paires distinctes donnent des classes distinctes.

• Existence constructive : pour toute
  $(\kappa ,\alpha )$
  construire
  $E$
  de cardinal
  $\kappa$
  et définir
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$
  par induction transfinie pour obtenir
  $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)=\alpha$
  . La construction utilise étapes successives et limites ordinales ; ZFC fournit les outils nécessaires. □

Exemples codés (pseudo‑code et résultats)

Pseudo‑code (schéma d’implémentation)

python

# Schéma (pseudo‑code)
def build_codes(E):
    return {x: i for i,x in enumerate(E)}  # injection c_E
def A(S_codes):
    # Décodage déterministe selon une grammaire fixée
    return decode_from_codes(S_codes)  # utilisateur définit decode_from_codes
def D_x(x, E, codes):
    candidates = all_finite_subsets(E)
    valid = [D for D in candidates if A({codes[y] for y in D}) == x]
    return min_lex(valid)  # minimalité lexicographique
def compute_rho(E, Mem):
    rho = {}
    def rank(x):
        if x in rho: return rho[x]
        if not Mem[x]: rho[x]=0; return 0
        rho[x] = max(rank(y)+1 for y in Mem[x])
        return rho[x]
    for x in E: rank(x)
    return rho

Exemple 1 —

${\zeta }_{\mathbb{N}}$

Construction :

$E=\mathbb{N}$

,

$\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}(0)=\mathrm{\varnothing }$

,

$\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}(n)=\{0,\dots ,n-1\}$

. Alors

$\rho (n)=n$

et

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_{\mathbb{N}})=\omega$

. Donc

${\zeta }_{\mathbb{N}}=({\mathrm{\aleph }}_0,\omega )$

.

Exemple 2 —

${\zeta }_{\mathbb{Z}}$

Construction (convention) :

$\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}(0)=\mathrm{\varnothing }$

,

$\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}(n)=\{n-1\}$

pour

$n>0$

,

$\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}(n)=\{n+1\}$

pour

$n<0$

. Profondeur maximale

$\omega$

. Donc

${\zeta }_{\mathbb{Z}}=({\mathrm{\aleph }}_0,\omega )$

sous cette convention.

Exemple 3 —

${\zeta }_{\mathbb{R}}$

Convention canonique adoptée : choisir la profondeur minimale non dénombrable pour refléter la richesse du continu, i.e.

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_{\mathbb{R}})={\omega }_1$

. Ainsi

${\zeta }_{\mathbb{R}}=(2^{{\mathrm{\aleph }}_0},{\omega }_1)$

. D’autres choix restent possibles selon la granularité des empreintes.

Robustesse, limites et variantes

• Dépendance au codage.
  $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$
  dépend de la règle de codage
  $A$
  et de la convention minimale pour
  $D_x$
  . La convention canonique (empreinte minimale via
  $A$
  ) vise à réduire l’arbitraire.

• Bien‑fondation nécessaire. Si
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$
  contient des cycles, la définition des rangs échoue ; la construction inductive impose la bien‑fondation.

• Choix pour
  ${\zeta }_{\mathbb{R}}$
  . Adopter
  ${\omega }_1$
  est naturel mais non obligatoire ; la théorie structurelle reste valide quel que soit le choix, seules les valeurs ordinales changent.

• Interprétation physique. Traduire
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$
  en mécanismes physiques (Mécanique de Non‑Vie) demande modèles et simulations ; la formalisation mathématique est indépendante de ces interprétations.